Números Complejos
Números complejos
Ilustración del plano complejo. Los números reales se encuentran en el eje de coordenadas horizontal y los imaginarios en el eje vertical.
Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado . El conjunto de los números complejos se designa con la notación "C", siendo "R"el conjunto de los números reales se cumple que "R"c"C" ( "R"está estrictamente contenido en "C" ). Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de launidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, facilitación de cálculo de integrales, en aerodinámica, hidrodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la eléctronica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los imaginarios puros. Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del algebra— pero que se demuestra aún en un curso de variable compleja —, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Los análogos del calculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.
Definición:
Se define cada número complejo z como un par ordenado de números reales: z = (a, b). A su vez el primer elemento a se define como parte real de z, se denota
;el segundo elemento b se define como parte imaginaria de z,
;el segundo elemento b se define como parte imaginaria de z,
se denota 
. Luego en el conjunto ℂ de los números complejos, se definen tres operaciones y la relación de igualdad:
. Luego en el conjunto ℂ de los números complejos, se definen tres operaciones y la relación de igualdad:- Suma:
- Producto Escalar:
- Multiplicación:
- Igualdad:
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:
- Resta:
- División:
Al número 
se denomina número complejo real y como entre el conjunto de estos y el conjunto ℝ de los números reales se establece un isomorfismo, se asume que todo número real es un número complejo. Al número complejo
se denomina número imaginario puro. Puesto que
se dice que un número complejo es la suma de un número real con un número imaginario puro.
se denomina número complejo real y como entre el conjunto de estos y el conjunto ℝ de los números reales se establece un isomorfismo, se asume que todo número real es un número complejo. Al número complejo se denomina número imaginario puro. Puesto que se dice que un número complejo es la suma de un número real con un número imaginario puro. 
Un número complejo representado como un punto (en rojo) y un vector de posición (azul) en un diagrama de Argand;
es la expresión binomial del punto.
es la expresión binomial del punto.
Un número complejo se representa en forma binomial como:
La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias maneras, como se muestra a continuación:
Representación polar
El argumento φ y módulo r localizan un punto en un diagrama de Argand; 
o 
es la expresión polar del punto.
o es la expresión polar del punto.
En esta representación, r es el módulo del número complejo y el ángulo
es el argumento del número complejo.
es el argumento del número complejo.
Codificación c++ ( Suma de complejos )
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